第1题

求所有满足对任意实数

x,y

都有

f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor

的函数

f:\mathbb R\to\mathbb R

。

第 5/6 步：剩余分支不可能

上一步下一步

通俗地说

对向下取整映射不变使第一个单位区间内所有点都等于原点处的值，随后选取一对输入即可与一点处的值矛盾。

f(1)=f(2)\lfloor f(1/2)\rfloor=0

详细分析

还需排除 $1\le f(1)<2$ 。在此分支中 $\lfloor f(1)\rfloor=1$ ，所以令 $y=1$ 得对所有 $x$ 有 $f(\lfloor x\rfloor)=f(x)$ 。当 $0\le x<1$ 时，得到 $f(x)=f(0)=0$ ，于是 $f(1/2)=0$ 。现在取 $x=2$ 、 $y=1/2$ ；方程给出 $f(1)=f(2)\lfloor f(1/2)\rfloor=0$ ，这与 $1\le f(1)$ 矛盾。