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第2题

设 II 为三角形 ABCABC 的内心，Γ\Gamma 为其外接圆。设直线 AIAI 与 Γ\Gamma 的另一个交点为 DD。设 EE 为弧 BDCBDC（不含 AA 的弧）上一点，FF 为边 BCBC 上一点，使得 ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC。设 GG 为线段 IFIF 的中点。证明直线 DGDG 与 EIEI 的交点在 Γ\Gamma 上。
第 1/6 步：AI平分角FAE
上一步下一步
通俗地说

由于 FF 与 EE 满足 ∠BAF=∠CAE\angle BAF=\angle CAE，∠BAC\angle BAC 的平分线 AIAI 自然也平分新的角 ∠FAE\angle FAE。

∠FAI=∠EAI\angle FAI=\angle EAI
详细分析

由于 AIAI 平分 ∠BAC\angle BAC，故 ∠BAI=∠CAI=12∠BAC\angle BAI=\angle CAI=\tfrac12\angle BAC；用这两个相等的一半减去题设 ∠BAF=∠CAE\angle BAF=\angle CAE，得到 ∠FAI=∠BAI−∠BAF=∠CAI−∠CAE=∠EAI\angle FAI=\angle BAI-\angle BAF=\angle CAI-\angle CAE=\angle EAI，即 AIAI 也平分 ∠FAE\angle FAE。此外，AIAI 与 Γ\Gamma 的第二个交点 DD 是 EE 所在弧 BDCBDC 的中点。