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第2题

设 II 为三角形 ABCABC 的内心，Γ\Gamma 为其外接圆。设直线 AIAI 与 Γ\Gamma 的另一个交点为 DD。设 EE 为弧 BDCBDC（不含 AA 的弧）上一点，FF 为边 BCBC 上一点，使得 ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC。设 GG 为线段 IFIF 的中点。证明直线 DGDG 与 EIEI 的交点在 Γ\Gamma 上。
第 2/6 步：旁心引理：D到B、I、C与旁心等距
上一步下一步
通俗地说

经典的内心-旁心引理指出，从 AA 出发的内角平分线与 Γ\Gamma 的交点到 BB、II、CC 以及对应 AA 的旁心 A′A' 等距，因为 BI⊥BA′BI\perp BA' 使得 IA′IA' 成为以该点为圆心的圆的直径。

DI=DB=DC=DA′DI=DB=DC=DA'
详细分析

设 A′A' 为对应 AA 的旁心。通过角度追踪可得 ∠DBI=∠DIB=12∠A+12∠B\angle DBI=\angle DIB=\tfrac12\angle A+\tfrac12\angle B，从而 DB=DIDB=DI，同理 DC=DIDC=DI。因为 BIBI 与 BA′BA' 分别是角 BB 的内、外角平分线，故 BI⊥BA′BI\perp BA'，于是 IA′IA' 是以直线 AIAI 上某点为圆心的圆的直径；该圆心恰好是 DD，由此 DI=DA′DI=DA'。因此 DD 是 IA′IA' 的中点，且 DI=DB=DC=DA′DI=DB=DC=DA'。