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第2题

设 II 为三角形 ABCABC 的内心，Γ\Gamma 为其外接圆。设直线 AIAI 与 Γ\Gamma 的另一个交点为 DD。设 EE 为弧 BDCBDC（不含 AA 的弧）上一点，FF 为边 BCBC 上一点，使得 ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC。设 GG 为线段 IFIF 的中点。证明直线 DGDG 与 EIEI 的交点在 Γ\Gamma 上。
第 3/6 步：联系内心与旁心距离的乘积恒等式
上一步下一步
通俗地说

AIAI 与 AA′AA' 都是从 AA 出发按半角表示的距离，结合 ABAB 与 ACAC 的正弦定理，它们的乘积化简为同一个表达式，从而得到所述恒等式。

AB⋅AC=AI⋅AA′AB\cdot AC=AI\cdot AA'
详细分析

由正弦定理，AB=2Rsin⁡CAB=2R\sin C，AC=2Rsin⁡BAC=2R\sin B，其中 RR 为外接圆半径。到内心与旁心的标准距离公式给出 AI=4Rsin⁡B2sin⁡C2AI=4R\sin\tfrac{B}{2}\sin\tfrac{C}{2} 与 AA′=4Rcos⁡B2cos⁡C2AA'=4R\cos\tfrac{B}{2}\cos\tfrac{C}{2}。两式相乘，利用 sin⁡θ=2sin⁡θ2cos⁡θ2\sin\theta=2\sin\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta}{2} 得到 AI⋅AA′=16R2sin⁡B2sin⁡C2cos⁡B2cos⁡C2=4R2sin⁡Bsin⁡C=AB⋅ACAI\cdot AA'=16R^2\sin\tfrac{B}{2}\sin\tfrac{C}{2}\cos\tfrac{B}{2}\cos\tfrac{C}{2}=4R^2\sin B\sin C=AB\cdot AC。