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第2题

设 II 为三角形 ABCABC 的内心，Γ\Gamma 为其外接圆。设直线 AIAI 与 Γ\Gamma 的另一个交点为 DD。设 EE 为弧 BDCBDC（不含 AA 的弧）上一点，FF 为边 BCBC 上一点，使得 ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC。设 GG 为线段 IFIF 的中点。证明直线 DGDG 与 EIEI 的交点在 Γ\Gamma 上。
第 4/6 步：由A处相等的角得到相似三角形
上一步下一步
通俗地说

由于 EE 在远弧上，有 ∠AEC=∠ABC\angle AEC=\angle ABC，结合题设 ∠BAF=∠EAC\angle BAF=\angle EAC，这使得三角形 ABFABF 与 AECAEC 相似，从而边的乘积与之前相同。

AF⋅AE=AB⋅AC=AI⋅AA′  ⟹  AFAA′=AIAEAF\cdot AE=AB\cdot AC=AI\cdot AA'\implies\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE}
详细分析

点 A,B,E,CA,B,E,C 都在 Γ\Gamma 上，且 BB 与 EE 位于弦 ACAC 的同侧（两者都在弧 BDCBDC 上），故由圆周角定理得 ∠AEC=∠ABC=∠ABF\angle AEC=\angle ABC=\angle ABF。结合 FF 在 BCBC 上给出的题设 ∠BAF=∠EAC\angle BAF=\angle EAC，三角形 ABFABF 与 AECAEC 由角角相似，于是 ABAE=AFAC\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AF}{AC}，即 AF⋅AE=AB⋅ACAF\cdot AE=AB\cdot AC。结合第3步的等式 AB⋅AC=AI⋅AA′AB\cdot AC=AI\cdot AA' 得 AF⋅AE=AI⋅AA′AF\cdot AE=AI\cdot AA'，改写为 AFAA′=AIAE\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE}。