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第2题

设 II 为三角形 ABCABC 的内心，Γ\Gamma 为其外接圆。设直线 AIAI 与 Γ\Gamma 的另一个交点为 DD。设 EE 为弧 BDCBDC（不含 AA 的弧）上一点，FF 为边 BCBC 上一点，使得 ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC。设 GG 为线段 IFIF 的中点。证明直线 DGDG 与 EIEI 的交点在 Γ\Gamma 上。
第 5/6 步：SAS相似确定A'与E处的相等角
上一步下一步
通俗地说

点 AA、II、DD、A′A' 都在从 AA 出发的同一条射线上，因此 AFAF 与该射线的夹角等于 AEAE 与该射线的夹角；结合第4步得到的边比，这就迫使三角形 FAA′FAA' 与 IAEIAE 相似。

∠FAA′=∠IAE  ⟹  △FAA′∼△IAE  ⟹  ∠FA′A=∠IEA\angle FAA'=\angle IAE\implies\triangle FAA'\sim\triangle IAE\implies\angle FA'A=\angle IEA
详细分析

由于 II、DD、A′A' 都在从 AA 出发的射线 AIAI 上，故 ∠FAA′=∠FAI\angle FAA'=\angle FAI 且 ∠IAE=∠EAI\angle IAE=\angle EAI；第1步已证 ∠FAI=∠EAI\angle FAI=\angle EAI，因此 ∠FAA′=∠IAE\angle FAA'=\angle IAE。结合第4步的 AFAA′=AIAE\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE}，这恰好是对应关系 F↔I, A↔A, A′↔EF\leftrightarrow I,\ A\leftrightarrow A,\ A'\leftrightarrow E 下 △FAA′∼△IAE\triangle FAA'\sim\triangle IAE 的SAS条件。由相似三角形得 ∠AA′F=∠AEI\angle AA'F=\angle AEI，即 ∠FA′A=∠IEA\angle FA'A=\angle IEA。