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第2题

设 II 为三角形 ABCABC 的内心，Γ\Gamma 为其外接圆。设直线 AIAI 与 Γ\Gamma 的另一个交点为 DD。设 EE 为弧 BDCBDC（不含 AA 的弧）上一点，FF 为边 BCBC 上一点，使得 ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC。设 GG 为线段 IFIF 的中点。证明直线 DGDG 与 EIEI 的交点在 Γ\Gamma 上。
第 6/6 步：中位线与相等角完成共圆性的证明
上一步下一步
通俗地说

DD 与 GG 分别是 IA′IA' 与 IFIF 的中点，所以 DGDG 是三角形 IFA′IFA' 的中位线，平行于 FA′FA'。将第5步得到的相等角沿这条平行线滑动，可知 DGDG 与 EIEI 的交点在相等的角度下看 DD 与 EE，这恰好是位于过 AA、DD、EE 的圆上的条件。

DG∥FA′  ⟹  ∠GDA=∠FA′A=∠IEADG\parallel FA'\implies\angle GDA=\angle FA'A=\angle IEA
详细分析

由第2步，DD 是 IA′IA' 的中点，且由题设 GG 是 IFIF 的中点；因此在三角形 IFA′IFA' 中，线段 DGDG 连接边 IA′IA' 与 IFIF 的中点，所以 DG∥FA′DG\parallel FA'，且 ∠GDA=∠FA′A\angle GDA=\angle FA'A（横截线 AA′=ADAA'=AD 所成的对应角）。结合第5步的 ∠FA′A=∠IEA\angle FA'A=\angle IEA，得到 ∠GDA=∠IEA\angle GDA=\angle IEA。设 XX 为直线 DGDG 与 EIEI 的交点；于是 ∠XDA=∠GDA=∠IEA=∠XEA\angle XDA=\angle GDA=\angle IEA=\angle XEA，故 DD 与 EE 在相等的角度下看线段 AXAX，即 AA、DD、EE、XX 四点共圆。由于 AA、DD、EE 已经确定 Γ\Gamma，点 XX 必在 Γ\Gamma 上，这就证明了直线 DGDG 与 EIEI 交于 Γ\Gamma 上。