第3题

求所有函数

g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}

，使得对所有

m,n\in\mathbb{Z}_{>0}

，

\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)

都是完全平方数。

第 1/6 步：验证候选解族

通俗地说

当 $g(n)=n+c$ 时两个因子完全相同，因此它们的乘积自动是完全平方数。

g(n)=n+c,\quad c\ge0

详细分析

对任意固定整数 $c\ge0$ ，定义 $g(n)=n+c$ 。此时 $g$ 把正整数映到正整数，并且 $P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)=(m+n+c)^2$ 。所以这族函数都满足条件；下面证明不存在其他函数。