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第3题

求所有函数 g:Z>0→Z>0g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}，使得对所有 m,n∈Z>0m,n\in\mathbb{Z}_{>0}，(g(m)+n)(g(n)+m)\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) 都是完全平方数。
第 2/6 步：记下乘积为平方数的条件
上一步下一步
P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)∈{12,22,32,…}P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)\in\{1^2,2^2,3^2,\ldots\}
详细分析

把题设条件写成 P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)。每个 P(m,n)P(m,n) 都是正的完全平方数。我们将比较两个此类乘积中某个素数赋值的奇偶性。