第3题

若 $g(k)=g(k+1)$，对任意素数 $p$ 应用刚性结论会得到 $k\equiv k+1\pmod p$，矛盾。若 $|g(k+1)-g(k)|>1$，取一个整除该差的素数 $p$；此时 $g(k)\equiv g(k+1)\pmod p$，刚性结论再次给出同一矛盾。因此 $|g(k+1)-g(k)|=1$。更一般地，若 $a\ne b$ 且 $g(a)=g(b)$，刚性结论可对每个素数 $p$ 应用，所以对每个素数都有 $a\equiv b\pmod p$。取一个大于 $|a-b|$ 的素数便迫使 $a=b$，故 $g$ 是单射。