第3题

求所有函数

g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}

，使得对所有

m,n\in\mathbb{Z}_{>0}

，

\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)

都是完全平方数。

第 5/6 步：符号不能改变

上一步下一步

g(k+1)-g(k)=1\text{ for all }k

详细分析

每个差 $g(k+1)-g(k)$ 都是 $1$ 或 $-1$ 。若两个连续的差符号相反，则会有 $g(k+2)=g(k)$ 或 $g(k+2)=g(k)$ ，这与单射性矛盾。因此所有差的符号相同。它们不可能全为 $-1$ ，因为那样 $g(k)=g(1)-(k-1)$ 在 k 足够大时会变成非正数，与 $g(k)\in\mathbb{Z}_{>0}$ 矛盾。所以对所有 $k$ 都有 $g(k+1)-g(k)=1$ 。