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第4题

设 PP 是三角形 ABCABC（其中 CA≠CBCA \neq CB）内部一点。直线 APAP、BPBP、CPCP 分别再次与其外接圆 Γ\Gamma 交于 KK、LL、MM。Γ\Gamma 在 CC 处的切线与直线 ABAB 交于 SS。证明：若 SC=SPSC = SP，则 MK=MLMK = ML。
第 1/5 步：标注共线关系并引入 X
上一步下一步
通俗地说

K、L、M 只是塞瓦线 AP、BP、CP 与圆的第二个交点，因此每条塞瓦线本身就是一条经过 P 的弦；从 M 引出的另一条切线给出一个可与 SPC 比较的新等腰三角形。

A,P,K colinear;B,P,L colinear;C,P,M colinear;X=(tangent at M)∩SCA,P,K\ \text{colinear};\quad B,P,L\ \text{colinear};\quad C,P,M\ \text{colinear};\qquad X=(\text{tangent at }M)\cap SC
详细分析

按定义，KK 是直线 APAP 与 Γ\Gamma 的第二个交点，故 AA、PP、KK 共线；同理 BB、PP、LL 共线，CC、PP、MM 共线，且 PP 严格位于 CC 与 MM 之间（因为 PP 在三角形内部，从而也在 Γ\Gamma 内部）。设 MM 处 Γ\Gamma 的切线与直线 SCSC（即 SS 所在的、CC 处 Γ\Gamma 的切线）交于点 XX。这个 XX 就是我们用来比较两个等腰三角形的顶点。