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第4题

设 PP 是三角形 ABCABC（其中 CA≠CBCA \neq CB）内部一点。直线 APAP、BPBP、CPCP 分别再次与其外接圆 Γ\Gamma 交于 KK、LL、MM。Γ\Gamma 在 CC 处的切线与直线 ABAB 交于 SS。证明：若 SC=SPSC = SP，则 MK=MLMK = ML。
第 2/5 步：两个等腰三角形迫使 MX 平行于 PS
上一步下一步
XM=XC, SP=SC   ⟹   ∠XMC=∠XCM=∠SCP=∠SPC   ⟹   MX∥PSXM=XC,\ SP=SC\ \implies\ \angle XMC=\angle XCM=\angle SCP=\angle SPC\ \implies\ MX\parallel PS
详细分析

由于 XMXM、XCXC 是从 XX 到 Γ\Gamma 的两条切线段，故相等，从而三角形 XMCXMC 为等腰三角形，∠XMC=∠XCM\angle XMC=\angle XCM。因为 CC、PP、MM 共线（第1步），射线 CMCM 即射线 CPCP，故 ∠XCM=∠XCP\angle XCM=\angle XCP；又因 XX 在直线 SCSC 上，射线 CXCX 即射线 CSCS，故 ∠XCP=∠SCP\angle XCP=\angle SCP。另一方面，由已知 SP=SCSP=SC，三角形 SPCSPC 以 SS 为顶点的等腰三角形，故 ∠SPC=∠SCP\angle SPC=\angle SCP。串联这些等式得 ∠XMC=∠SPC\angle XMC=\angle SPC。这正是 MXMX 与 PSPS 分别在 MM 与 PP 处与公共截线 CPMCPM 所成的角，故由内错角相等得 MX∥PSMX\parallel PS。