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第4题

设 PP 是三角形 ABCABC（其中 CA≠CBCA \neq CB）内部一点。直线 APAP、BPBP、CPCP 分别再次与其外接圆 Γ\Gamma 交于 KK、LL、MM。Γ\Gamma 在 CC 处的切线与直线 ABAB 交于 SS。证明：若 SC=SPSC = SP，则 MK=MLMK = ML。
第 3/5 步：S 的幂给出一对相似三角形
上一步下一步
SC2=SA⋅SB=SP2   ⟹   SPSA=SBSP   ⟹   △SPA∼△SBP   ⟹   ∠SAP=∠SPBSC^2=SA\cdot SB=SP^2\ \implies\ \dfrac{SP}{SA}=\dfrac{SB}{SP}\ \implies\ \triangle SPA\sim\triangle SBP\ \implies\ \angle SAP=\angle SPB
详细分析

因为 SCSC 在 CC 处与 Γ\Gamma 相切，且 S,A,BS,A,B 共线，故 SS 关于 Γ\Gamma 的幂同时等于 SC2SC^2 与 SA⋅SBSA\cdot SB，从而 SC2=SA⋅SBSC^2=SA\cdot SB。结合已知 SP=SCSP=SC，得 SP2=SA⋅SBSP^2=SA\cdot SB，即 SP/SA=SB/SPSP/SA=SB/SP。三角形 SPASPA 与 SBPSBP 在 SS 处有公共角（直线 SA=SBSA=SB 与 SPSP 在顶点 SS 处所成的角 ∠ASP=∠PSB\angle ASP=\angle PSB 是同一个角），且夹这个角的两边按此比例成比例，故由边角边相似得 △SPA∼△SBP\triangle SPA\sim\triangle SBP。对应相似三角形的对应角，得 ∠SAP=∠SPB\angle SAP=\angle SPB。