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第4题

设 PP 是三角形 ABCABC（其中 CA≠CBCA \neq CB）内部一点。直线 APAP、BPBP、CPCP 分别再次与其外接圆 Γ\Gamma 交于 KK、LL、MM。Γ\Gamma 在 CC 处的切线与直线 ABAB 交于 SS。证明：若 SC=SPSC = SP，则 MK=MLMK = ML。
第 4/5 步：内接角迫使 PS 平行于 LK
上一步下一步
∠SAP=∠BAK=∠BLK=∠PLK=∠SPB   ⟹   PS∥LK\angle SAP=\angle BAK=\angle BLK=\angle PLK=\angle SPB\ \implies\ PS\parallel LK
详细分析

因为 AA、PP、KK 共线（第1步），射线 APAP 即射线 AKAK，故 ∠SAP=∠SAK\angle SAP=\angle SAK；又因 SS 在直线 ABAB 上，射线 ASAS 即射线 ABAB，故 ∠SAK=∠BAK\angle SAK=\angle BAK。内接角 ∠BAK\angle BAK 与 ∠BLK\angle BLK 都从同侧对着 Γ\Gamma 的同一段弧 BKBK，故 ∠BAK=∠BLK\angle BAK=\angle BLK。因为 BB、PP、LL 共线（第1步），射线 LBLB 即射线 LPLP，故 ∠BLK=∠PLK\angle BLK=\angle PLK。结合第3步，∠PLK=∠SAP=∠SPB\angle PLK=\angle SAP=\angle SPB。这正是 LKLK 与 PSPS 分别在 LL 与 PP 处与公共截线 BPLBPL 所成的角，故由内错角相等得 PS∥LKPS\parallel LK。