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第4题

设 PP 是三角形 ABCABC（其中 CA≠CBCA \neq CB）内部一点。直线 APAP、BPBP、CPCP 分别再次与其外接圆 Γ\Gamma 交于 KK、LL、MM。Γ\Gamma 在 CC 处的切线与直线 ABAB 交于 SS。证明：若 SC=SPSC = SP，则 MK=MLMK = ML。
第 5/5 步：得出 M 平分弧 LK，故 MK = ML
上一步下一步
MX∥PS∥LK   ⟹   MX∥LK   ⟹   M is the midpoint of arc LK   ⟹   MK=MLMX\parallel PS\parallel LK\ \implies\ MX\parallel LK\ \implies\ M\ \text{is the midpoint of arc } LK\ \implies\ MK=ML
详细分析

第2步与第4步给出 MX∥PSMX\parallel PS 及 PS∥LKPS\parallel LK；由平行的传递性，MX∥LKMX\parallel LK。但 MXMX 是 MM 处 Γ\Gamma 切线的一部分，而 LKLK 是 Γ\Gamma 的一条弦：圆上一点处的切线平行于某条弦，当且仅当该点是这条弦所确定的两段弧之一的中点。因此 MM 是弧 LKLK（不含直线 CMCM 另一个交点的一侧）的中点，即弧 MKMK 与 MLML 相等，从而它们所对的弦也相等：MK=MLMK=ML。■\blacksquare