第5题

六个盒子

B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6

起初各有一枚硬币。第一类操作选择一个满足

1\le j\le5

的非空盒子

B_j

，取出一枚硬币并向

B_{j+1}

加入两枚硬币。第二类操作选择一个满足

1\le k\le4

的非空盒子

B_k

，取出一枚硬币，并交换（可以为空的）盒子

B_{k+1}

与

B_{k+2}

的内容。判断是否存在有限次操作，使

B_1,B_2,B_3,B_4,B_5

为空而

B_6

中恰有

2010^{2010^{2010}}

枚硬币。这里

a^{b^c}

表示

a^{(b^c)}

。

第 1/5 步：到达有用的种子配置

上一步下一步

(1,1,1,1,1,1)\to(0,0,5,11,0,0)

详细分析

把配置写成 $(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6)$ 。先在 $B_5$ 、再在 $B_1$ 进行第一类操作，得到 $(0,3,1,1,0,3)$ 。下面的合法操作列中省略不变的坐标： $(0,3,1,1,0,3)\to(0,0,7,0,0,7)\to(0,0,6,2,0,7)\to(0,0,6,1,2,7)\to(0,0,6,1,0,11)\to(0,0,6,0,11,0)\to(0,0,5,11,0,0)$ 。第一步依次在 $B_2$ 做三次、在 $B_4$ 做一次、在 $B_5$ 做两次第一类操作；其余各步依次是在 $B_3$ 做第一类、在 $B_4$ 做第一类、在 $B_5$ 做两次第一类、在 $B_4$ 做第二类、在 $B_3$ 做第二类操作。因此所示种子配置确实可达。