考察状态 (k,n,0,0)(k,n,0,0)(k,n,0,0) 的后三个盒子。反复在这三个盒子的第一个盒子进行第一类操作，再在第二个盒子进行第一类操作将其清空；每一轮从第一个盒子消耗一枚硬币，并使第三个盒子中的数量翻倍。因此有 (n,0,0)→(n−1,2,0)→(n−1,0,4)→(n−2,4,0)→(n−2,0,8)→⋯→(1,0,2n)(n,0,0)\to(n-1,2,0)\to(n-1,0,4)\to(n-2,4,0)\to(n-2,0,8)\to\cdots\to(1,0,2^n)(n,0,0)→(n−1,2,0)→(n−1,0,4)→(n−2,4,0)→(n−2,0,8)→⋯→(1,0,2n)。随后在这三个盒子的第一个盒子进行第二类操作得到 (0,2n,0)(0,2^n,0)(0,2n,0)，再在前一个盒子进行第二类操作得到 (k−1,2n,0,0)(k-1,2^n,0,0)(k−1,2n,0,0)。每次操作都合法，因为取硬币的盒子始终非空。