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第5题

六个盒子 B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 起初各有一枚硬币。第一类操作选择一个满足 1≤j≤51\le j\le5 的非空盒子 BjB_j，取出一枚硬币并向 Bj+1B_{j+1} 加入两枚硬币。第二类操作选择一个满足 1≤k≤41\le k\le4 的非空盒子 BkB_k，取出一枚硬币，并交换（可以为空的）盒子 Bk+1B_{k+1} 与 Bk+2B_{k+2} 的内容。判断是否存在有限次操作，使 B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 为空而 B6B_6 中恰有 2010201020102010^{2010^{2010}} 枚硬币。这里 abca^{b^c} 表示 a(bc)a^{(b^c)}。
第 4/5 步：精确丢弃多余硬币
上一步下一步
(0,A,0,0)→(0,D4,0,0)D=201020102010(0,A,0,0)\to\left(0,\frac{D}{4},0,0\right)\qquad D=2010^{2010^{2010}}
详细分析

在装有 AA 的盒子上反复进行第二类操作，同时保持后面两个盒子为空；每次操作只取走一枚硬币而不改变其他内容。由于 A>D/4A>D/4，可在该盒子恰好剩下 D/4D/4 时停止。这是可行的，因为 D=201020102010D=2010^{2010^{2010}} 能被 44 整除（事实上 20102010 是偶数）。此时最后四个盒子的配置为 (0,D/4,0,0)(0,D/4,0,0)。