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第5题

六个盒子 B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 起初各有一枚硬币。第一类操作选择一个满足 1≤j≤51\le j\le5 的非空盒子 BjB_j，取出一枚硬币并向 Bj+1B_{j+1} 加入两枚硬币。第二类操作选择一个满足 1≤k≤41\le k\le4 的非空盒子 BkB_k，取出一枚硬币，并交换（可以为空的）盒子 Bk+1B_{k+1} 与 Bk+2B_{k+2} 的内容。判断是否存在有限次操作，使 B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 为空而 B6B_6 中恰有 2010201020102010^{2010^{2010}} 枚硬币。这里 abca^{b^c} 表示 a(bc)a^{(b^c)}。
第 5/5 步：把剩余硬币准确移入第六个盒子
上一步下一步
4⋅D4=D4\cdot\frac{D}{4}=D
详细分析

从 (B3,B4,B5,B6)(B_3,B_4,B_5,B_6) 中的 (0,D/4,0,0)(0,D/4,0,0) 出发，在 B4B_4 上进行第一类操作直到其为空，于是 B5B_5 中有 D/2D/2 枚硬币。再在 B5B_5 上进行第一类操作直到其为空，于是 B6B_6 中有 DD 枚硬币，因为 4⋅(D/4)=D4\cdot(D/4)=D。此时 B1B_1 至 B5B_5 全部为空，所以所需的有限操作序列存在。答案是肯定的。