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第6题

设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。
第 1/9 步：从取最大值的递推开始
上一步下一步
an=max⁡1≤k≤n−1(ak+an−k)(n>s)a_n=\max_{1\le k\le n-1}(a_k+a_{n-k})\quad(n>s)
详细分析

假设为 an=max⁡1≤k≤n−1(ak+an−k)(n>s)a_n=\max_{1\le k\le n-1}(a_k+a_{n-k})\quad(n>s)。当右边某一项的下标大于 ss 时,再次用同一规则展开该项。