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第6题

设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。
第 2/9 步：展开为初始项
上一步下一步
an=ai1+⋯+ait,1≤ij≤s,i1+⋯+it=na_n=a_{i_1}+\cdots+a_{i_t},\quad 1\le i_j\le s,\quad i_1+\cdots+i_t=n
详细分析

由于每次展开都会减小被展开项的下标,过程必然终止。因此每个 ana_n 都能表示为 an=ai1+⋯+ait,1≤ij≤s,i1+⋯+it=na_n=a_{i_1}+\cdots+a_{i_t},\quad 1\le i_j\le s,\quad i_1+\cdots+i_t=n,其中下标不超过 ss;每一步都选取达到最大值的拆分。