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第6题

设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。
第 3/9 步：选择初始最大斜率
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q=max⁡1≤i≤saii,aℓ/ℓ=qq=\max_{1\le i\le s}\frac{a_i}{i},\qquad a_\ell/\ell=q
详细分析

令 q=max⁡1≤i≤saii,aℓ/ℓ=qq=\max_{1\le i\le s}\frac{a_i}{i},\qquad a_\ell/\ell=q,其中 ℓ\ell 是达到最大值的下标。于是 1≤ℓ≤s1\le\ell\le s,且对所有 1≤i≤s1\le i\le s 都有 ai≤qia_i\le qi。