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第6题

设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。
第 4/9 步：减去线性部分
上一步下一步
bn=an−qn,bℓ=0,bi≤0 (1≤i≤s)b_n=a_n-qn,\qquad b_\ell=0,\qquad b_i\le0\ (1\le i\le s)
详细分析

定义 bn=an−qnb_n=a_n-qn。由 qq 的选择有 bℓ=0,bi≤0 (1≤i≤s)b_\ell=0,\qquad b_i\le0\ (1\le i\le s)。利用上一步的展开可知对所有 nn 都有 bn≤0b_n\le0:每次展开都是若干 bijb_{i_j} 的和,而初始项全都不正。