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第6题

设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。
第 5/9 步：归一化数列满足同一递推
上一步下一步
bn=max⁡1≤k≤n−1(bk+bn−k)b_n=\max_{1\le k\le n-1}(b_k+b_{n-k})
详细分析

当 n>sn>s 时,从原递推中减去 qnqn,由于 qk+q(n−k)=qnqk+q(n-k)=qn,得到 bn=max⁡1≤k≤n−1(bk+bn−k)b_n=\max_{1\le k\le n-1}(b_k+b_{n-k})。结合初始值,该递推同样能把每个 bnb_n 展开为下标 i≤si\le s 的若干 bib_i 之和。