若所有 b1,…,bsb_1,\ldots,b_sb1,…,bs 都为零,递推立即给出所有 nnn 都有 bn=0b_n=0bn=0,再由 an=qna_n=qnan=qn 和 aℓ=qℓa_\ell=q\ellaℓ=qℓ 得到结论。否则令 M=max1≤i≤s(−bi)M=\max_{1\le i\le s}(-b_i)M=max1≤i≤s(−bi) 且 ε=min{−bi:bi<0}>0\varepsilon=\min\{-b_i:b_i<0\}>0ε=min{−bi:bi<0}>0。由于允许拆分 n=ℓ+(n−ℓ)n=\ell+(n-\ell)n=ℓ+(n−ℓ),有 bn≥bn−ℓb_n\ge b_{n-\ell}bn≥bn−ℓ;不断迭代直到初始下标即可得 −M≤bn≤0-M\le b_n\le0−M≤bn≤0。因此 bnb_nbn 的任一展开至多含有 M/εM/\varepsilonM/ε 个负项,所以所有 bnb_nbn 都属于由初始值之和构成的有限集合。