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第6题

设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。
第 7/9 步：每个剩余类子数列稳定
上一步下一步
bn≥bn−ℓ,bs+t,bs+t+ℓ,bs+t+2ℓ,…b_n\ge b_{n-\ell},\qquad b_{s+t},b_{s+t+\ell},b_{s+t+2\ell},\ldots
详细分析

对每个 n>sn>s,由递推和 bℓ=0b_\ell=0 有 bn≥bn−ℓb_n\ge b_{n-\ell}。因此对每个 1≤t≤ℓ1\le t\le\ell,数列 bs+t,bs+t+ℓ,bs+t+2ℓ,…b_{s+t},b_{s+t+\ell},b_{s+t+2\ell},\ldots 单调不减。由第6步知它只取有限多个值,所以最终恒定。取有限个子数列稳定阈值的最大值,便存在 NN 使得所有 n≥Nn\ge N 都有 bn=bn−ℓb_n=b_{n-\ell}。