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第6题

设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。
第 9/9 步：结论
上一步下一步
an=bn+qn=an−ℓ+qℓ=an−ℓ+aℓa_n=b_n+qn=a_{n-\ell}+q\ell=a_{n-\ell}+a_\ell
详细分析

最后,对所有充分大的 nn 都有 an=bn+qn=an−ℓ+qℓ=an−ℓ+aℓa_n=b_n+qn=a_{n-\ell}+q\ell=a_{n-\ell}+a_\ell。由于 1≤ℓ≤s1\le\ell\le s,这正是所需证明的结论。