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第1题

设 ABCABC 为三角形，JJ 为对着顶点 AA 的旁心。旁切圆与边 BCBC 在 MM 处相切，并分别与直线 ABAB,ACAC 在 KK,LL 处相切。直线 LMLM 与 BJBJ 交于 FF，直线 KMKM 与 CJCJ 交于 GG。设 SS 为直线 AFAF 与 BCBC 的交点、TT 为直线 AGAG 与 BCBC 的交点。证明 MM 是 STST 的中点。
第 1/5 步：切线长使得 BJ 与 CJ 成为垂直平分线
上一步下一步
通俗地说

从圆外同一点引出的切线段总是相等的，所以 B 与 J 到 K 与 M 的距离都相等，而到一条线段两端距离相等的点必在其垂直平分线上。

BK=BM=s−c,CL=CM=s−b,AK=AL=sBK=BM=s-c,\quad CL=CM=s-b,\quad AK=AL=s
详细分析

设 a=BC,b=CA,c=ABa=BC,b=CA,c=AB，s=12(a+b+c)s=\tfrac12(a+b+c)。从 BB 到 AA-旁切圆的切线段相等，故 BK=BMBK=BM，由标准切线长公式两者都等于 s−cs-c；同理 CL=CM=s−bCL=CM=s-b，AK=AL=sAK=AL=s。又因 JK=JM=JLJK=JM=JL（都是旁切圆半径），B,JB,J 都到 K,MK,M 等距，故直线 BJBJ 是 KMKM 的垂直平分线；同理直线 CJCJ 是 LMLM 的垂直平分线。