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第1题

设 ABCABC 为三角形，JJ 为对着顶点 AA 的旁心。旁切圆与边 BCBC 在 MM 处相切，并分别与直线 ABAB,ACAC 在 KK,LL 处相切。直线 LMLM 与 BJBJ 交于 FF，直线 KMKM 与 CJCJ 交于 GG。设 SS 为直线 AFAF 与 BCBC 的交点、TT 为直线 AGAG 与 BCBC 的交点。证明 MM 是 STST 的中点。
第 2/5 步：用重心坐标写出关键点
上一步下一步
通俗地说

按已知比例分割一条边（或其延长线）的点，其重心坐标就等于长度的反比，而 A-旁心具有标准坐标 (-a:b:c)。

M=(0:s−b:s−c), K=(−(s−c):s:0), L=(−(s−b):0:s), J=(−a:b:c)M=(0:s-b:s-c),\ K=(-(s-c):s:0),\ L=(-(s-b):0:s),\ J=(-a:b:c)
详细分析

在关于 △ABC\triangle ABC 的齐次重心坐标下：MM 内分线段 BCBC 且 BM=s−c,CM=s−bBM=s-c,CM=s-b，故 M=(0:s−b:s−c)M=(0:s-b:s-c)；KK 在射线 ABAB 上越过 BB 的一侧且 AK=s,BK=s−cAK=s,BK=s-c，故 K=(−(s−c):s:0)K=(-(s-c):s:0)；同理 L=(−(s−b):0:s)L=(-(s-b):0:s)；而 AA-旁心具有标准坐标 J=(−a:b:c)J=(-a:b:c)。合起来即 M=(0:s−b:s−c), K=(−(s−c):s:0), L=(−(s−b):0:s), J=(−a:b:c)M=(0:s-b:s-c),\ K=(-(s-c):s:0),\ L=(-(s-b):0:s),\ J=(-a:b:c)。