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第1题

设 ABCABC 为三角形，JJ 为对着顶点 AA 的旁心。旁切圆与边 BCBC 在 MM 处相切，并分别与直线 ABAB,ACAC 在 KK,LL 处相切。直线 LMLM 与 BJBJ 交于 FF，直线 KMKM 与 CJCJ 交于 GG。设 SS 为直线 AFAF 与 BCBC 的交点、TT 为直线 AGAG 与 BCBC 的交点。证明 MM 是 STST 的中点。
第 5/5 步：对 S 与 T 的规范化坐标取平均
上一步下一步
通俗地说

一旦两点写成了规范化重心坐标（各分量之和为 1），它们的中点就只是两个坐标三元组逐分量的平均——而在这里这个平均恰好就是 M。

S+T2=(0,a−b+c2a,a+b−c2a)=(0,s−ba,s−ca)=M\dfrac{S+T}{2}=\left(0,\dfrac{a-b+c}{2a},\dfrac{a+b-c}{2a}\right)=\left(0,\dfrac{s-b}{a},\dfrac{s-c}{a}\right)=M
详细分析

在规范化重心坐标下，两点的中点就是它们逐坐标的平均。对 S=(0,a+ca,−ca)S=(0,\tfrac{a+c}{a},-\tfrac{c}{a}) 与 T=(0,−ba,a+ba)T=(0,-\tfrac{b}{a},\tfrac{a+b}{a}) 取平均，得到 S+T2=(0,a−b+c2a,a+b−c2a)=(0,s−ba,s−ca)=M\dfrac{S+T}{2}=\left(0,\dfrac{a-b+c}{2a},\dfrac{a+b-c}{2a}\right)=\left(0,\dfrac{s-b}{a},\dfrac{s-c}{a}\right)=M（利用 2(s−b)=a−b+c2(s-b)=a-b+c 与 2(s−c)=a+b−c2(s-c)=a+b-c）。因此 MM 是 STST 的中点（事实上 MS=MT=sMS=MT=s）。