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第2题

设 n≥3n\ge3 为整数，正实数 a2,a3,…,ana_2,a_3,\dots,a_n 满足 a2a3⋯an=1a_2a_3\cdots a_n=1。证明 (1+a2)2(1+a3)3⋯(1+an)n>nn(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n。
第 2/4 步：应用加权 AM-GM
上一步下一步
通俗地说

一个 x 与 k-1 个 1 达到平衡。

(1+x)k≥kk(k−1)k−1x(1+x)^k\ge\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}x
详细分析

对 x>0x>0 中的 x,1,…,1x,1,\dots,1 应用加权 AM-GM，得 (1+x)k≥kk(k−1)k−1x(1+x)^k\ge\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}x，等号仅在 x=1/(k−1)x=1/(k-1) 时成立。