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国际数学奥林匹克
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2012年
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第2题
第2题
设
n
≥
3
n\ge3
n
≥
3
为整数，正实数
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
a_2,a_3,\dots,a_n
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
满足
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
a_2a_3\cdots a_n=1
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
。证明
(
1
+
a
2
)
2
(
1
+
a
3
)
3
⋯
(
1
+
a
n
)
n
>
n
n
(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n
(
1
+
a
2
)
2
(
1
+
a
3
)
3
⋯
(
1
+
a
n
)
n
>
n
n
。
第 3/4 步：相乘这些不等式
上一步
下一步
通俗地说
常数从 2 到 n 望远镜式消去。
∏
k
=
2
n
(
1
+
a
k
)
k
≥
∏
k
=
2
n
k
k
(
k
−
1
)
k
−
1
a
k
\prod_{k=2}^n(1+a_k)^k\ge\prod_{k=2}^n\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}a_k
k
=
2
∏
n
(
1
+
a
k
)
k
≥
k
=
2
∏
n
(
k
−
1
)
k
−
1
k
k
a
k
详细分析
对
x
=
a
k
x=a_k
x
=
a
k
、指数
k
k
k
应用第二步并对
k
=
2
,
…
,
n
k=2,\dots,n
k
=
2
,
…
,
n
相乘。变量因子之积由第一步为
1
1
1
。
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