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第2题

设 n≥3n\ge3 为整数，正实数 a2,a3,…,ana_2,a_3,\dots,a_n 满足 a2a3⋯an=1a_2a_3\cdots a_n=1。证明 (1+a2)2(1+a3)3⋯(1+an)n>nn(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n。
第 4/4 步：望远镜消去并排除等号
上一步下一步
通俗地说

所需下界正是 n^n，等号不可能同时成立。

∏k=2nkk(k−1)k−1=nn\prod_{k=2}^n\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}=n^n
详细分析

乘积望远镜消去为 nnn^n。若取等号，则所有 kk 都需 ak=1/(k−1)a_k=1/(k-1)，但其乘积为 1/(n−1)!≠11/(n-1)!\ne1（n≥3n\ge3）。故 (1+a2)2⋯(1+an)n>nn(1+a_2)^2\cdots(1+a_n)^n>n^n。