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第4题

求所有函数 f:Z→Zf:\mathbb Z\to\mathbb Z,使得任意满足 a+b+c=0a+b+c=0 的整数 a,b,ca,b,c 都有 f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)。
第 1/5 步:在零点归一化并利用对称性
通俗地说

零三元组先确定原点的值,随后函数值关于输入变号保持对称。

f(0)=0,f(−a)=f(a)f(0)=0,\qquad f(-a)=f(a)
详细分析

令 a=b=c=0a=b=c=0 得 f(0)=0f(0)=0。令 c=0c=0、b=−ab=-a 得 (f(a)−f(−a))2=0(f(a)-f(-a))^2=0,故 ff 为偶函数。