第4题

求所有函数

f:\mathbb Z\to\mathbb Z

，使得任意满足

a+b+c=0

的整数

a,b,c

都有

f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)

。

第 2/5 步：函数值为零产生周期与二分支

通俗地说

一旦某个函数值为零，该输入就成为周期；代入特殊三元组还能控制下一个偶数点。

f(a)=0\Longrightarrow f(a+b)=f(b),\qquad f(2a)\bigl(f(2a)-4f(a)\bigr)=0

详细分析

若 $f(a)=0$ ，代入 $(a,b,-a-b)$ 并利用偶性得 $(f(b)-f(a+b))^2=0$ ，故 a 是周期。代入 $(a,a,-2a)$ 得 $f(2a)(f(2a)-4f(a))=0$ 。特别地取 $a=1$ ，或者 $f(2)=0$ ，或者 $f(2)=4f(1)$ 。