第4题

求所有函数

f:\mathbb Z\to\mathbb Z

，使得任意满足

a+b+c=0

的整数

a,b,c

都有

f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)

。

第 3/5 步：周期二族

通俗地说

若 f(2)=0，则周期二使所有偶数点为零，所有奇数点取同一个任意值。

f(2)=0\Longrightarrow f(2t)=0,\ f(2t+1)=c

详细分析

由上一步得周期二。因 $f(0)=f(2)=0$ ，所有偶数输入值为零；由偶性，所有奇数输入值均为 $c=f(1)$ 。直接代入可验证任意整数 c 都给出这一族。