若不属于周期二分支，方程会把从 1 得到的二次模式传播到每个正整数。
设 f(2)=4f(1)f(2)=4f(1)f(2)=4f(1) 且令 c=f(1)c=f(1)c=f(1)。若 c=0c=0c=0，这是二次族中的零函数。若 c≠0c\ne0c=0，在原方程中代入 (a,b,c)=(1,n,−n−1)(a,b,c)= (1,n,-n-1)(a,b,c)=(1,n,−n−1) 归纳得到两种可能：f(n+1)=(n+1)2cf(n+1)=(n+1)^2cf(n+1)=(n+1)2c 或 f(n+1)=(n−1)2cf(n+1)=(n-1)^2cf(n+1)=(n−1)2c。后一种再代入 (a,b,c)=(n+1,1−n,−2)(a,b,c)=(n+1,1-n,-2)(a,b,c)=(n+1,1−n,−2) 后在 n>2 时不可能；初始情形给出 f(3)=9cf(3)=9cf(3)=9c。故所有 n 都有 f(n)=cn2f(n)=cn^2f(n)=cn2，直接代入即可验证。