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第4题

求所有函数 f:Z→Zf:\mathbb Z\to\mathbb Z，使得任意满足 a+b+c=0a+b+c=0 的整数 a,b,ca,b,c 都有 f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)。
第 5/5 步：周期四族与完整分类
上一步下一步
通俗地说

剩余分支具有周期四；与二次族、周期二族合起来即穷尽所有可能。

f(n)={0,4∣n,c,n odd,4c,n≡2(mod4),f(n)=\begin{cases}0,&4\mid n,\\ c,&n\text{ odd},\\4c,&n\equiv2\pmod4,\end{cases}
详细分析

在上述非周期分支中，若归纳第一次选取下支，则同样的代入迫使 n=2，从而 f(3)=f(1)f(3)=f(1)；在 (1,3,4)(1,3,4) 处代入得 f(4)=0f(4)=0，故周期为四。由偶性和原方程恰得 f(4t)=0f(4t)=0、f(4t+1)=f(4t+3)=cf(4t+1)=f(4t+3)=c、f(4t+2)=4cf(4t+2)=4c。因此所有解为 f(n)=cn2f(n)=cn^2；f(n)=0f(n)=0（n 偶时为 0、n 奇时为 c）；或上述周期四族，其中 c∈Zc\in\mathbb Z 任意。