MathLabs

第5题

设三角形 ABCABC 满足 ∠BCA=90∘\angle BCA=90^\circ，D 为从 C 作高的垂足。取 X 在 CD 内部，K 在 AX 上且 BK=BCBK=BC，L 在 BX 上且 AL=ACAL=AC，令 M=AL∩BKM=AL\cap BK。证明 MK=MLMK=ML。
第 3/5 步：把 L 与 K 放到直角圆上
上一步下一步
通俗地说

角相等使 R、A、D、L 共圆，所得直角让 RL、RK 可直接计算。

R,A,D,L cyclic,RL2=AR2−AC2R,A,D,L\text{ cyclic},\qquad RL^2=AR^2-AC^2
详细分析

由 ∠ALD=∠ARD\angle ALD=\angle ARD 得 R,A,D,LR,A,D,L 共圆。因此 ∠RLA=90∘\angle RLA=90^\circ 且 RL2=AR2−AL2=AR2−AC2RL^2=AR^2-AL^2=AR^2-AC^2。对 K 作对称论证，得 ∠RKB=90∘\angle RKB=90^\circ 且 RK2=BR2−BK2=BR2−BC2RK^2=BR^2-BK^2=BR^2-BC^2。