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第6题

求所有正整数 nn，使得存在非负整数 a1,…,ana_1,\dots,a_n 满足 ∑i=1n2−ai=∑i=1ni3−ai=1\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1。
第 1/4 步：推出必要同余条件
上一步下一步
通俗地说

乘以最大的 3 的幂清除分母后，第二个等式变成模 n 的整数同余。

3M=∑i=1ni3M−ai≡n(n+1)2≡1(mod2)3^M=\sum_{i=1}^n i3^{M-a_i}\equiv\frac{n(n+1)}2\equiv1\pmod2
详细分析

令 M=max⁡iaiM=\max_i a_i。将 ∑i=1ni3−ai=1\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1 乘以 3M3^M 得 3M=∑ii3M−ai3^M=\sum_i i3^{M-a_i}。将此整数等式模 2 化，左边为奇数，右边同余于 1+2+⋯+n=n(n+1)/21+2+\cdots+n=n(n+1)/2。故该三角数为奇数，从而 n≡1,2(mod4)n\equiv1,2\pmod4。