第6题

求所有正整数

n

，使得存在非负整数

a_1,\dots,a_n

满足

\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1

。

第 2/4 步：从奇数长度推广到下一个偶数长度

上一步下一步

通俗地说

把一项替换为两项相等的二进贡献，并使三进指标之和为原指标的三倍。

a'_{m+1}=a_{m+1}+1,\quad a'_{2m+2}=a_{m+1}+1

详细分析

设 $(a_1,\ldots,a_{2m+1})$ 可行。令 $a'_j=a_j$ ，但 $a'_{m+1}=a_{m+1}+1$ 且 $a'_{2m+2}=a_{m+1}+1$ 。二进制和不变，因为一项 $2^{-a_{m+1}}$ 被替换为两项 $2^{-(a_{m+1}+1)}$ 。三进制和的变化为 $-(m+1)3^{-a_{m+1}}+((m+1)+(2m+2))3^{-(a_{m+1}+1)}=0$ 。故可行性从 $2m+1$ 推到 $2m+2$ 。