第6题

对 $4m+2$、$m\ge2$ 的可行序列，除下列替换外令 $a'_j=a_j$（未列出的指数不变）：$a'_{m+2}=a_{m+2}+2$；对 $j=2,\ldots,6$，令 $a'_{2m+j}=a_{2m+j}+1$ 且 $a'_{4m+2j}=a_{2m+j}+1$；并对 $j=1,\ldots,6$ 令 $a'_{4m+2j+1}=a_{m+2}+3$。第一项替换保持两和，因为 $2^{-a}=2^{-(a+2)}+6\,2^{-(a+3)}$ 且 $(m+2)3^{-a}=(m+2)3^{-(a+2)}+\sum_{j=1}^6(4m+2j+1)3^{-(a+3)}$。每个 $2m+j$ 对也保持两和，因为 $(2m+j)+(4m+2j)=3(2m+j)$。因此新序列长度为 $4m+13$ 且仍可行。