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第6题

求所有正整数 nn，使得存在非负整数 a1,…,ana_1,\dots,a_n 满足 ∑i=1n2−ai=∑i=1ni3−ai=1\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1。
第 4/4 步：验证五个基础序列
上一步下一步
通俗地说

基础序列覆盖长度 1、5、9、13、17；奇数到偶数步骤再覆盖相邻偶数长度。

(0); (2,1,3,4,4); (2,3,3,3,3,4,4,4,4); (2,3,3,4,4,4,5,4,4,5,4,5,5); (3,2,2,4,4,5,5,6,5,6,6,6,6,6,6,6,5)(0);\ (2,1,3,4,4);\ (2,3,3,3,3,4,4,4,4);\ (2,3,3,4,4,4,5,4,4,5,4,5,5);\ (3,2,2,4,4,5,5,6,5,6,6,6,6,6,6,6,5)
详细分析

直接代入可验证公式中长度 1,5,9,13,171,5,9,13,17 的指数列均可行。奇数到偶数步骤给出长度 2,6,10,14,182,6,10,14,18，11 项扩展给出其后的所有 4m+13≡1(mod4)4m+13\equiv1\pmod4 长度；再应用奇数到偶数步骤得到相应的 2(mod4)2\pmod4 长度。因此所有 n≡1,2(mod4)n\equiv1,2\pmod4 都可行，恰与必要条件相符。