第1题

证明:对任意一对正整数

k

与

n

,都存在

k

个正整数

m_1,m_2,\ldots,m_k

(不必互不相同),使得

1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).

第 1/5 步：基础情形 k = 1

通俗地说

每次剥离一个因子都会把 $k$ 化为 $k-1$ ,因此对 $k$ 归纳是自然的想法。

1+\frac{2^1-1}{n}=1+\frac{1}{n}

详细分析

当 $k=1$ 时,待证等式即为 $1+\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}$ ,取 $m_1=n$ 即显然成立。这是对 $k$ 归纳的基础情形,须对每个正整数 $n$ 都成立。