国际数学奥林匹克 · 2013年

试题

第1题证明:对任意一对正整数 $k$ 与 $n$ ,都存在 $k$ 个正整数 $m_1,m_2,\ldots,m_k$ (不必互不相同),使得 $1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).$ 解法: 1
第2题平面上 $4027$ 个点组成的一个配置,若由 $2013$ 个红点和 $2014$ 个蓝点组成,且配置中任何三点都不共线,则称为哥伦比亚配置。画若干条直线,可将平面分成若干区域。对某个哥伦比亚配置,若一组直线满足以下两个条件,就称这组直线的排列是好的:(1) 没有一条直线经过配置中的任何点;(2) 没有一个区域同时包含两种颜色的点。求最小的 $k$ ,使得对任意的 $4027$ 点哥伦比亚配置,都存在由 $k$ 条直线组成的好排列。解法: 1
第3题设三角形 $ABC$ 中,顶点 $A$ 所对的旁切圆与边 $BC$ 相切于点 $A_1$ 。类似地,用顶点 $B$ 、 $C$ 所对的旁切圆分别在 $CA$ 、 $AB$ 上定义点 $B_1$ 、 $C_1$ 。设三角形 $A_1B_1C_1$ 的外心落在三角形 $ABC$ 的外接圆上。证明三角形 $ABC$ 是直角三角形。解法: 1
第4题设 $ABC$ 是垂心为 $H$ 的锐角三角形, $W$ 是边 $BC$ 上严格位于 $B$ 、 $C$ 之间的一点。设 $M$ 、 $N$ 分别是从 $B$ 、 $C$ 所引垂线的垂足。设 $\omega_1$ 为三角形 $BWN$ 的外接圆, $X$ 为 $\omega_1$ 上使得 $WX$ 是 $\omega_1$ 直径的点。类似地,设 $\omega_2$ 为三角形 $CWM$ 的外接圆, $Y$ 为使得 $WY$ 是 $\omega_2$ 直径的点。证明 $X, Y$ 、 $H$ 三点共线。解法: 1
第5题设 $\mathbb{Q}_{>0}$ 为所有正有理数组成的集合。设 $f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}$ 是满足下列三个条件的函数:(i) 对一切 $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$ , $f(x)f(y)\ge f(xy)$ ;(ii) 对一切 $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$ , $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ ;(iii) 存在有理数 $a>1$ 使得 $f(a)=a$ 。证明:对一切 $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ 都有 $f(x)=x$ 。解法: 1
第6题设 $n\ge2$ 为整数,在圆周上标出 $n+1$ 个等间距的点。考虑用 $0,1,\ldots,n$ 对这些点作标号、每个数恰用一次的所有方式;若一种标号可由另一种经圆的旋转得到,则视为相同的标号。称一种标号是美丽的,如果对任意满足 $a+d=b+c$ 的四个标号 $a<b<c<d$ ,连接标号为 $a$ 与 $d$ 的两点的弦都不与连接标号为 $b$ 与 $c$ 的两点的弦相交。设 $M$ 为美丽标号的个数, $N$ 为满足 $x+y\le n$ 且 $\gcd(x,y)=1$ 的正整数有序对 $(x,y)$ 的个数。证明 $M=N+1$ 。解法: 1