第1题

证明:对任意一对正整数

k

与

n

,都存在

k

个正整数

m_1,m_2,\ldots,m_k

(不必互不相同),使得

1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).

第 2/5 步：归纳步骤:按奇偶拆分 n

n=2t-1 \text{ (odd)}\quad\text{or}\quad n=2t \text{ (even)}, \quad t\in\mathbb{Z}_{>0}

详细分析

固定 $k\ge2$ ,并假设该等式对 $k-1$ 及每个正整数都已成立。对给定的 $n$ ,若 $n$ 为奇数则记 $n=2t-1$ ,若 $n$ 为偶数则记 $n=2t$ ,其中 $t$ 为正整数;下面分别处理这两种情形。