若 n=2t−1n=2t-1n=2t−1,则 (2t−1)+(2k−1)=2t(1+2k−1−1t)(2t-1)+(2^k-1)=2t\left(1+\frac{2^{k-1}-1}{t}\right)(2t−1)+(2k−1)=2t(1+t2k−1−1);两边除以 2t−12t-12t−1 即得上述分解。对 ttt 与 k−1k-1k−1 使用归纳假设,第二个因子可写成 (1+1m1)⋯(1+1mk−1)\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_{k-1}}\right)(1+m11)⋯(1+mk−11),取 mk=2t−1=nm_k=2t-1=nmk=2t−1=n 即完成此情形。