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第1题

证明:对任意一对正整数 kk 与 nn,都存在 kk 个正整数 m1,m2,…,mkm_1,m_2,\ldots,m_k(不必互不相同),使得 1+2k−1n=(1+1m1)(1+1m2)⋯(1+1mk).1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).
第 4/5 步：偶数情形:剥离 m_k = n + 2^k − 2
上一步下一步
1+2k−12t=(1+2k−1−1t)(1+12t+2k−2)1+\frac{2^k-1}{2t}=\left(1+\frac{2^{k-1}-1}{t}\right)\left(1+\frac{1}{2t+2^k-2}\right)
详细分析

若 n=2tn=2t,直接计算得 2t+2k−12t=2t+2k−22t⋅2t+2k−12t+2k−2\dfrac{2t+2^k-1}{2t}=\dfrac{2t+2^k-2}{2t}\cdot\dfrac{2t+2^k-1}{2t+2^k-2},把每个分式写成 1+(…)1+(\ldots) 的形式,恰是上面所写的乘积。对 tt 与 k−1k-1 使用归纳假设即可得到第一个因子所需的 m1,…,mk−1m_1,\ldots,m_{k-1},而第二个因子取正整数 mk=2t+2k−2=n+2k−2m_k=2t+2^k-2=n+2^k-2 即可。