第1题

证明:对任意一对正整数

k

与

n

,都存在

k

个正整数

m_1,m_2,\ldots,m_k

(不必互不相同),使得

1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).

第 5/5 步：归纳结论

1+\frac{2^k-1}{n}=\prod_{i=1}^{k}\left(1+\frac{1}{m_i}\right)

详细分析

任何正整数 $n$ 非奇即偶,因此上述两种情形总有一种适用。连同基础情形 $k=1$ ,这就完成了对 $k$ 的归纳,证明了该等式对每一对正整数 $k,n$ 都成立。